Родился в Минске в 1985 году.

В 2005 году окончил Минский государственный колледж искусств по направлению «Режиссура массовых обрядов и праздников, организация культурно-досуговой деятельности». В 2010 году окончил Белорусскую государственную Академию искусств по направлению «Режиссура драматического театра/эстрада».

С 2008 по 2019 годы Дмитрий являлся артистом Белорусского государственного молодежного театра. Театральные работы Богославского неоднократно отмечались грамотами и благодарностями. В 2015 году за роль Треплева в спектакле «Чехов. Комедия. Чайка» получил диплом II Молодежного театрального форума стран СНГ, Балтии и Грузии «За разностороннюю театральную одаренность».

С 2019 года является режиссером Центра белорусской драматургии при Республиканском театре белорусской драматургии.
Дебютная пьеса «Пешка» была поставлена в Центре белорусской драматургии и режиссуры в 2008 году.

В 2017 и 2019 годах на Фестивале национальной драматургии им. В. И. Дунина-Марцинкевича (г. Бобруйск, Беларусь) пьесы «Точки на временной оси» и «Тихий шорох уходящих шагов» получили гран-при в номинации «Лучшая пьеса современного белорусского драматурга».

В 2012−2013 гг. пьесы «Любовь людей» и «Тихий шорох уходящих шагов» победили в интернет-голосовании «Конкурс Конкурсов» в рамках проекта «Новая пьеса» Всероссийского театрального фестиваля «Золотая маска».

Пьеса «Любовь людей» была впервые поставлена в Москве в Театре Маяковского в 2012 году. Режиссер – Никита Кобелев.